Bestimmung der Kreiszahl Pi mit der Monte-Carlo-Simulation
Man betrachtet ein Quadrat dem ein Viertelkreis einbeschrieben ist.
Wir wissen, das das Verhältnis von Kreisfläche zur Quadratfläche pi/4 beträgt:
Man ”schießt” nun blindlings auf dieses Quadrat, indem man zwei voneinander unabhängige, gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1] würfelt, welche die Koordinaten des Schusses darstellen. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Treffer
innerhalb des Kreises liegt verhält sich zur Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses, wie
die Kreisfläche zur Quadratfläche.
Jeder Treffer innerhalb des Kreises (t) und jeder Schuß (n) wird gezählt. Aus diesem einfachen Ansatz erhält man nun
Simulation mit einer Tabellenkalkulation:
- Für die Punkte auf dem Kreisrand gilt : x 2 + y 2=1
- Für die Punkte innerhalb des Kreises gilt : x 2 + y 2 ≤1
- Für die Punkte außerhalb des Kreises gilt : x 2 + y 2>1
In Excel erzeugt die Methode ZUFALLSZAHL() zufällig verteilte Zahlen zwischen Null und Eins. Erzeuge je 500 solcher Zahlen in den Spalten x und y. In einer weiteren Spalte soll hierzu die Summe x 2 + y 2 berechnet werden.
Mit der Methode WENN(Prüfung;Dann_Wert;Sonst_Wert) kann jetzt überprüft werden, ob ein Treffer (t) vorliegt. In einer neuen Spalte soll in diesem Fall in der betreffenden Zelle „Treffer“ sonst „Daneben“ eingetragen werden.
Auch die Anzahl der Treffer kann mit der Methode ZÄHLENWENN(Bereich;Kriterien) bestimmt werden:
Aufgabe:
Bestimme mithilfe von Zufallsziffern, ob der jeweilige Punkt P(x/y) im Viertelkreis liegt ("Treffer") oder Nicht ("Daneben").